Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

Câu hỏi số 478595:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478595

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sqrt {x - 1} + 2\,\,\left( {t \ge 2} \right)\).

- Từ BBT suy ra \(f'\left( x \right)\), tính \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \), sử dụng \(f\left( 1 \right) = 4,\,\,f\left( 3 \right) = - 2\).

- Tính \(f\left( 2 \right)\) với hàm \(f\left( x \right)\) vừa tìm được, sau đó tìm điều kiện của \(m\) để phương trình có 2 nghiệm.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {x - 1} + 2\,\,\left( {t \ge 2} \right)\). Khi đó ta có \(f\left( t \right) = m\) có 2 nghiệm (ứng với mỗi nghiệm \(t\) cho ta một nghiệm \(x\) tương ứng).

Từ BBT ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị \(x = 1,\,\,x = 3\) nên \(f'\left( x \right) = a\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = a\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {a\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx} = a\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x} \right) + C\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 4\\f\left( 3 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{3}a + C = 4\\C = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = - 2\\a = \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{9}{2}\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x} \right) - 2 = \dfrac{3}{2}{x^3} - 9{x^2} + \dfrac{{27}}{2}x - 2\).

\( \Rightarrow f\left( 2 \right) = 1\).

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow - 2 < m \le 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.