Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 478600:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right)\left( {x + 2} \right)} \right]dx} = - \dfrac{{64}}{3}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} \).

A. \(I = \dfrac{{\pi - 2\ln 2}}{2}\)

B. \(I = \dfrac{{\pi - \ln 2}}{2}\)

C. \(I = \dfrac{{\pi + \ln 2}}{2}\)

D. \(I = \dfrac{{\pi + 2\ln 2}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478600

Phương pháp giải

- Nhận xét \(\int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^2}dx} = \dfrac{{64}}{3}\), áp dụng tính chất tích phân và đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng bình phương.

- Sử dụng \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0\).

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^2}dx} = \dfrac{{64}}{3}\) nên

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right)\left( {x + 2} \right)} \right]dx} = - \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {x + 2} \right)}^2}dx} \\ \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right)\left( {x + 2} \right) + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right]dx} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left[ {f\left( x \right) - x - 2} \right]}^2}dx} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + 2\end{array}\)

Vậy \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 1}}dx} = \dfrac{{\pi + \ln 2}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.