Cho đường tròn \(\left( O \right)\)có \(AB\) là đường kính. Vẽ đường kính \(CD\) không trùng với

Câu hỏi số 478775:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\)có \(AB\) là đường kính. Vẽ đường kính \(CD\) không trùng với \(AB.\)Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳng \(BC\) và \(BD\) lần lượt tại \(E\)và \(F.\)Gọi \(Q\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AF\)

a) Chứng minh : \(ACBD\) là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(QO\) song song với \(BF\) và \(\Delta BQC\) là tam giác cân.

c) Chứng minh \(EB.EC + FB.FD = 2C{D^2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478775

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng \(90^\circ \)

b) Sử dụng đường trung bình và tích chất giữa đường kính và dây

c) Sử dụng bất đẳng thức AM – GM kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết

a) Chứng minh : \(ACBD\) là hình chữ nhật.

Vì \(AB\) là đường kính nên \(\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ \)

Vì \(CD\) là đường kính nên \(\angle CAD = \angle CBD = 90^\circ \) \( \Rightarrow ACBD\) là hình chữ nhật

b) Chứng minh \(QO\) song song với \(BF\) và \(\Delta BQC\) là tam giác cân.

Vì O là trung điểm \(AB,Q\) là trung điểm \(AF\) nên \(QO\) là đường trung bình tam giác \(ABF\) \( \Rightarrow QO\,{\rm{//}}\,BF\)

Mà \(BC \bot BF \Rightarrow QO \bot BC\)

Vì \(QO \bot BC\) nên \(QO\) đi qua trung điểm \(BC\) (tính chất đường kính và dây cung)

\(\Delta BQC\)có \(QO\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta BQC\) cân tại Q

c) Chứng minh \(EB.EC + FB.FD = 2C{D^2}.\)

\(\Delta BEA\) vuông tại \(A\) có \(AC\) đường cao nên \(E{A^2} = EB.EC\)

\(\Delta BFA\) vuông tại \(A\) có \(AD\) là đường cao nên \(F{A^2} = FB.FD\)

\( \Rightarrow EB.EC = FB.FD = E{A^2} + F{A^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM có: \(E{A^2} + F{A^2} \ge 2.EA.FA\,\,\)mà \(EA.FA = A{B^2} = C{D^2}\)

Suy ra \(EB.EC + FB.FD \ge 2C{D^2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link