Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - {\left( {\sqrt 2 - 1}

Câu hỏi số 478827:

Vận dụng

Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{x - 2}} \le 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\).

A. \(\left( { - \infty ;\sqrt 2 } \right]\)

B. \(\left[ { - 2; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ;2} \right]\)

D. \(\left[ { - 1;1} \right]\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478827

Phương pháp giải

- Sử dụng \(\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{ - 1}}\).

- Chia cả 2 vế cho \(\sqrt 2 + 1\).

- Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x - 1}} > 0\), đưa về bất phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Giải bất phương trình tìm \(t\) sau đó tìm \(x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{x - 2}} \le 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2 - x}} \le 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x - 1}} - {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{1 - x}} \le 2\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x - 1}} - \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^{x - 1}}}} \le 2\end{array}\)

Đặt \(t = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x - 1}} > 0\), bất phương trình trở thành: \(t - \dfrac{1}{t} \le 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 1 \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \le t \le 1 + \sqrt 2 \).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 < t \le 1 + \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{x - 1}} \le \sqrt 2 + 1 \Leftrightarrow x - 1 \le 1 \Leftrightarrow x \le 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.