Tính tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\sqrt {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{5x - 1}}} + {x^2} -

Câu hỏi số 478828:

Vận dụng cao

Tính tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\sqrt {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{5x - 1}}} + {x^2} - 4x + 2 = 0\).

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478828

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(5x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{5}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _2}\sqrt {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{5x - 1}}} + {x^2} - 4x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{5x - 1}} + {x^2} - 4x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {5x - 1} \right) + {x^2} - 4x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + {x^2} + x + 1 = \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {5x - 1} \right) + 5x - 1\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = \dfrac{1}{2}{\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), suy ra \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 5x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(2 + \sqrt 2 + 2 - \sqrt 2 = 4\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.