Cho đường tròn \(\left( T \right)\) tâm \(O\) và dây cung \(AB\)cố định \(\left( {O \notin AB}

Câu hỏi số 478901:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( T \right)\) tâm \(O\) và dây cung \(AB\)cố định \(\left( {O \notin AB} \right).\,\,P\) là điểm di động trên đoạn thẳng \(AB\,\,\,(P \ne A,\,\,B\) và \(P\) khác trung điểm của đoạn thẳng \(AB).\) Đường tròn \(\left( {{T_1}} \right)\) tâm \(C\) đi qua điểm \(P\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( T \right)\) tại \(A\). Đường tròn \(\left( {{T_2}} \right)\) tâm \(D\) đi qua điểm \(P\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( T \right)\) tại \(B\). Hai đường tròn \(\left( {{T_1}} \right)\) và \(\left( {{T_2}} \right)\) cắt nhau tại \(N\) \(\left( {N \ne P} \right).\) Gọi \(\left( {{d_1}} \right)\) là tiếp tuyến chung của \(\left( T \right)\) với \(\left( {{T_1}} \right)\) tại \(A,\,\,\left( {{d_2}} \right)\) là tiếp tuyến chung của \(\left( T \right)\) với \(\left( {{T_2}} \right)\) tại \(B,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại \(Q\).

1. Chứng minh tứ giác \(AOBQ\) nội tiếp.

2. Chứng minh \(\angle ANP = \angle BNP\) và 4 điểm \(O,\,\,D,\,\,C,\,\,N\) cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \(ON\)luôn đi qua một điểm cố định khi \(P\) di động trên đoạn thẳng \(AB\,\,\,(P \ne A,B\) và \(P\) khác trung điểm của đoạn thẳng \(AB)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478901

Phương pháp giải

1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp

2. Sử dụng mối quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm của một đường tròn

3. Để ý \(5\) điểm \(O,N,A,Q,B\) cùng thuộc đường tròn

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(AOBQ\) nội tiếp.

Xét tứ giác \(AOBQ\)có \(\angle OAQ + \angle OBQ = {180^0}\)

\( \Rightarrow AOBQ\) là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện là \({180^0}\)).

2. Chứng minh \(\angle ANP = \angle BNP\) và 4 điểm \(O,\,\,D,\,\,C,\,\,N\) cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có: \(AC = CP \Rightarrow \Delta ACP\) cân\( \Rightarrow \angle ACP = \dfrac{{{{180}^0} - \angle CAP}}{2}\)

Tương tự ta có: \(\angle BDP = \dfrac{{{{180}^0} - \angle DBP}}{2}\)

Mà \(\angle CAP = \angle DPB\)(\(\Delta ABO\)cân tại O) \( \Rightarrow \angle ACP = \angle PDB\,\,\left( 1 \right)\)

Xét đường tròn \(\left( {{T_1}} \right)\)ta có: \(\angle ANP = \dfrac{1}{2}\angle ACP\) (cùng chắn cung \(AP)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Xét đường tròn \(\left( {{T_2}} \right)\)ta có : \(\angle BNP = \dfrac{1}{2}\angle BDP\) (cùng chắn cung \(BP)\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\angle ANP = \angle PNB\)

*Chứng minh \(ODCN\)nội tiếp

Ta có: \(\angle CPA = \angle OBP \Rightarrow CP//OD\left( 1 \right)\)

Ta có:\(\angle PAC = \angle BDP \Rightarrow DP//OC\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(ODCP\)là hình bình hành \( \Rightarrow \angle COD = \angle CPD\)

Mà \(\angle CND = \angle CPD\) (vì \(CD\) là trung trực của \(NP\)) \( \Rightarrow \angle COD = \angle CND\)

Má \(O,N\)là hai đỉnh kề nhau của tứ giác \(ODCN\) nên \(ODCN\) là tứ giác nội tiếp

3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \(ON\)luôn đi qua một điểm cố định khi \(P\) di động trên đoạn thẳng \(AB\,\,\,(P \ne A,B\) và \(P\) khác trung điểm của đoạn thẳng \(AB)\).

Có \(\angle ANB = 2\angle ANP = \angle ACP = \angle AOB\) \( \Rightarrow ANOB\) là tứ giác nội tiếp.

Lại có tứ giác \(AOBQ\) là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(5\) điểm \(O,\,\,N,\,\,A,\,\,Q,\,\,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OQ\)

Vậy đường trung trực của \(ON\) đi qua trung điểm của \(OQ\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link