Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b \le 1\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q =

Câu hỏi số 478913:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b \le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{5}{{ab}}\).

A. \(20\)

B. \(21\)

C. \(22\)

D. \(23\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478913

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với \(x,y > 0\)

Giải chi tiết

Ta chứng minh bổ đề: Với các số dương \(x,y\) ta có: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)

Thật vậy:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\), luôn đúng nên bổ đề được chứng minh.

\(Q = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{5}{{ab}} = \left( {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}}} \right) + \dfrac{9}{{2ab}}\)

Áp dụng bổ đề trên ta có: \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Mà \(a + b \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(4ab \le {\left( {a + b} \right)^2} \le 1 \Rightarrow ab \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{9}{{2ab}} \ge 18 (2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow Q \ge 22\). Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của \(Q\) là \(22\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link