Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b \le 1\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q =

Câu hỏi số 478913:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b \le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{5}{{ab}}\).

A. \(20\)

B. \(21\)

C. \(22\)

D. \(23\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478913

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với \(x,y > 0\)

Giải chi tiết

Ta chứng minh bổ đề: Với các số dương \(x,y\) ta có: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)

Thật vậy:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\), luôn đúng nên bổ đề được chứng minh.

\(Q = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{5}{{ab}} = \left( {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}}} \right) + \dfrac{9}{{2ab}}\)

Áp dụng bổ đề trên ta có: \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Mà \(a + b \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(4ab \le {\left( {a + b} \right)^2} \le 1 \Rightarrow ab \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{9}{{2ab}} \ge 18 (2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow Q \ge 22\). Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của \(Q\) là \(22\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link