Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC}

Câu hỏi số 478914:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC} \right).\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) chứa điểm \(A,\) vẽ nửa đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\) đường kính \(BH\)cắt \(AB\) tại \(I\,\,\left( {I \ne B} \right)\)và nửa đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\) đường kính \(HC\) cắt \(AC\) tại \(K\,\,\left( {K \ne C} \right)\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(AKHI\) là hình chữ nhật.

b) Tứ giác \(BIKC\) là tứ giác nội tiếp.

c) \(IK\) là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478914

Phương pháp giải

a) Sử dụng góc chắn nửa đường tròn là góc vuông

b) Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong đối diện là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh \(IK\) đồng thời vuông góc với hai bán kính của \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\)

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(AKHI\) là hình chữ nhật.

Xét tứ giác \(AIHK\) có \(\angle AKH = \angle AIH = 90^\circ {\rm{ }}\) \(\left( {{\rm{do }}\angle CKH = \angle BIH = 90^\circ } \right)\)

Và theo giả thiết: \(\angle IAK = {90^0}\) nên \(AKHI\) là hình chữ nhật

b) Tứ giác \(BIKC\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(AKHI\) là hình chữ nhật nên \(\angle AIK = \angle AHK\)

Hơn nữa, ta có:\(\angle AHK = \angle HCK\) (cùng chắn cung \(HK\) của nửa đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\)

Do đó \(\angle AIK = \angle HCK \Rightarrow \)tứ giác \(BIKC\) là tứ giác nội tiếp.

c) \(IK\) là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\).

Ta có: \(\angle {O_1}IK = \angle {O_1}IH + \angle HIK\)\( = {O_1}HI + \angle HAK\)\( = \angle BCA + \angle HAK = 90^\circ \)

Tương tự ta cũng có: \(\angle {O_2}KI = {90^0}.\)

Từ đó ta có: \(IK\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link