Tính \(P = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - 2\alpha } \right) + \cot \left(

Câu hỏi số 479339:

Vận dụng cao

Tính \(P = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - 2\alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\), biết \(\sin \alpha = - \dfrac{1}{2}\) và \( - \dfrac{\pi }{2} < \alpha < 0\).

A. \(P = \dfrac{{3\sqrt 3 - 1}}{2}\)

B. \(P = \dfrac{{ - 3\sqrt 3 - 1}}{2}\)

C. \(P = \dfrac{{ - 3\sqrt 3 + 1}}{2}\)

D. \(P = \dfrac{{3\sqrt 3 + 1}}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479339

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(P = \cos \alpha - \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right) - \cot \alpha \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - 2\alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\\\,\,\,\,\, = \cos \left( { - \alpha } \right) - \cos \left( { - 2\alpha } \right) + \cot \left( { - \alpha } \right)\\\,\,\,\,\, = \cos \alpha - \cos 2\alpha - \cot \alpha \\\,\,\,\,\, = \cos \alpha - \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right) - \cot \alpha \end{array}\)

Mặt khác, \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{4}\) mà \( - \dfrac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \sqrt 3 \).

Do đó, \(P = \cos \alpha - \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right) - \cot \alpha \)\( = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( {2.\dfrac{3}{4} - 1} \right) + \sqrt 3 = \)\(\dfrac{{3\sqrt 3 - 1}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.