Nếu \(\alpha \)là góc nhọn và \(\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} \) thì\(\tan \alpha \)

Câu hỏi số 479338:

Vận dụng cao

Nếu \(\alpha \)là góc nhọn và \(\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} \) thì\(\tan \alpha \) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{x + 1}}\)

B. \(\sqrt {{x^2} - 1} \)

C. \(\dfrac{1}{x}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479338

Phương pháp giải

Áp dụng \({\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = 1\) và \(tan\alpha = \tan \left( {\dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{\alpha }{2}} \right)\)\( = \dfrac{{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(0 < \alpha < {90^ \circ }\)\( \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\alpha }{2} < {45^ \circ }\)\( \Rightarrow 0 < \sin \dfrac{\alpha }{2} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow x > 0\)

\({\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = 1\)\( \Rightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \), vì \(0 < \dfrac{\alpha }{2} < {45^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{2x}}} \)\( \Rightarrow \tan \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \)

\(tan\alpha = \dfrac{{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}\)\( = \dfrac{{2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10