Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha .\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{25}}\) và \(\sin \alpha + \cos

Câu hỏi số 480374:

Thông hiểu

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha .\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{25}}\) và \(\sin \alpha + \cos \alpha > 0\). Tính \(P = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \).

A. \(P = \dfrac{{91}}{{125}}\)

B. \(P = \dfrac{{49}}{{25}}\)

C. \(P = \dfrac{7}{5}\)

D. \(P = \dfrac{1}{9}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:480374

Phương pháp giải

+ Tính \(\sin \alpha + \cos \alpha \) từ \(\sin \alpha .\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{25}}\).

+ Biến đổi biểu thức \(P = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \) bằng cách áp dụng hẳng đẳng thức tổng hai lập phương.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha = 1 + 2 \cdot \dfrac{{12}}{{25}} = \dfrac{{49}}{{25}}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{7}{5}\\\sin \alpha + \cos \alpha = - \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Theo đề bài, ta có : \(\sin \alpha + \cos \alpha > 0\) nên \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{7}{5}\).

\(\begin{array}{l}P = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \\ = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha .\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\end{array}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha .\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{25}}\\\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow P = {\left( {\dfrac{7}{5}} \right)^3} - 2 \cdot \dfrac{{12}}{{25}} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{{91}}{{125}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.