Nếu \(\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\) thì \(3\sin x + 2\cos x\) bằng

Câu hỏi số 480383:

Vận dụng

A. \(\dfrac{{5 - \sqrt 7 }}{4}\) hoặc \(\dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{7}\) hoặc \(\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{5}\) hoặc \(\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{5}\)

D. \(\dfrac{{3 - \sqrt 2 }}{5}\) hoặc \(\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:480383

Phương pháp giải

Từ \(\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\sin x.\cos x = - \dfrac{3}{8}\). Theo hệ thức Vi-ét để lập phương trình bậc hai \({X^2} - \dfrac{1}{2}X - \dfrac{3}{8} = 0\). Từ đó tìm được \(\sin x,\,\,\cos x\).

Thay giá trị của \(\sin x,\,\,\cos x\) để tính giá trị của biểu thức \(3\sin x + 2\cos x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x = - \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos x = - \dfrac{3}{8}\end{array}\)

Khi đó, \(\sin x,\,\,\cos x\) là nghiệm của phương trình:

\({X^2} - \dfrac{1}{2}X - \dfrac{3}{8} = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\\\cos x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 1\)

+) Với \(\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4},\,\,\cos x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\)\( \Rightarrow 3\sin x + 2\cos x = \dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\)

+) Với \(\sin x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4},\,\,\cos x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\)\( \Rightarrow 3\sin x + 2\cos x = \dfrac{{5 - \sqrt 7 }}{4}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.