Nếu \(\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\) thì \(3\sin x + 2\cos x\) bằng

Câu hỏi số 480383:

Vận dụng

A. \(\dfrac{{5 - \sqrt 7 }}{4}\) hoặc \(\dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{7}\) hoặc \(\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{5}\) hoặc \(\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{5}\)

D. \(\dfrac{{3 - \sqrt 2 }}{5}\) hoặc \(\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:480383

Phương pháp giải

Từ \(\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\sin x.\cos x = - \dfrac{3}{8}\). Theo hệ thức Vi-ét để lập phương trình bậc hai \({X^2} - \dfrac{1}{2}X - \dfrac{3}{8} = 0\). Từ đó tìm được \(\sin x,\,\,\cos x\).

Thay giá trị của \(\sin x,\,\,\cos x\) để tính giá trị của biểu thức \(3\sin x + 2\cos x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x = - \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos x = - \dfrac{3}{8}\end{array}\)

Khi đó, \(\sin x,\,\,\cos x\) là nghiệm của phương trình:

\({X^2} - \dfrac{1}{2}X - \dfrac{3}{8} = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\\\cos x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 1\)

+) Với \(\sin x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4},\,\,\cos x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\)\( \Rightarrow 3\sin x + 2\cos x = \dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\)

+) Với \(\sin x = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4},\,\,\cos x = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\)\( \Rightarrow 3\sin x + 2\cos x = \dfrac{{5 - \sqrt 7 }}{4}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.