Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông,

Câu hỏi số 481276:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), \(SA = a\), \(SB = a\sqrt 3 \). Giá trị tan của góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là:

A. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{5}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {51} }}{{17}}\)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481276

Phương pháp giải

- Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(SH \bot AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Xác định góc giữa \(SC\) và mặt đáy là góc giữa \(SC\) và hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt đáy.

- Sử dụng hệ thức lượng, định lí Pytago để tính độ dài các cạnh.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(SH \bot AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow HC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH\).

\(\Delta SAB\) vuông tại \(S\) nên \(SH = \dfrac{{SA.SB}}{{\sqrt {S{A^2} + S{B^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow HB = \sqrt {S{B^2} - S{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{3a}}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC = \sqrt {B{C^2} + H{B^2}} = \sqrt {A{B^2} + H{B^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {S{A^2} + S{B^2} + H{B^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2} + \dfrac{{9{a^2}}}{4}} = \dfrac{{5a}}{2}\end{array}\)

Vậy \(\tan \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \tan \angle SCH = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.