Cho 2 số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn: \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)}

Câu hỏi số 481291:

Vận dụng cao

Cho 2 số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn: \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 125 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\). Giá trị của biểu thức \(P = x + 5y\) là:

A. \({P_{\min }} = 125\)

B. \({P_{\min }} = 57\)

C. \({P_{\min }} = 43\)

D. \({P_{\min }} = 25\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481291

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng và sử dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Với \(x,\,\,y > 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 125 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left[ {{{\log }_5}\left( {x + 2} \right) + {{\log }_5}\left( {y + 1} \right)} \right] = 125 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 2} \right) + {\log _5}\left( {y + 1} \right) = \dfrac{{125}}{{y + 1}} - x + 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 2} \right) + {\log _5}\left( {y + 1} \right) = \dfrac{{125}}{{y + 1}} - \left( {x + 2} \right) + 3\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right) = {\log _5}\dfrac{{125}}{{y + 1}} + \dfrac{{125}}{{y + 1}}\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _5}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), suy ra hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), do đó \(f\left( {x + 2} \right) = f\left( {\dfrac{{125}}{{y + 1}}} \right) \Leftrightarrow x + 2 = \dfrac{{125}}{{y + 1}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{125}}{{y + 1}} - 2\).

Khi đó ta có \(P = x + 5y = \dfrac{{125}}{{y + 1}} - 2 + 5y\).

\( \Rightarrow P = \dfrac{{125}}{{y + 1}} + 5\left( {y + 1} \right) - 7 \ge 2\sqrt {\dfrac{{125}}{{y + 1}}.5\left( {y + 1} \right)} - 7 = 43\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{{125}}{{y + 1}} = 5\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 1 = 5\\y + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 4\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\).

Với \(y = 4 \Rightarrow x = \dfrac{{125}}{5} - 2 = 23\).

Vậy \({P_{\min }} = 43 \Leftrightarrow x = 23,\,\,y = 4\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.