Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,\,{\left( {x - 2}
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và \(\left( {{S_2}} \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua \(M\), đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) có tâm \({I_1}\left( {2; - 3;1} \right)\), bán kính \({R_1} = 2\).
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1\) có tâm \({I_2}\left( {3; - 1; - 1} \right)\), bán kính \({R_2} = 1\).
Ta có: \({I_1}{I_2} = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3 = {R_1} + {R_2}\).
\( \Rightarrow \left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài.
Gọi \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) là 3 mặt phẳng đi qua \(M\), đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) theo ba đường tròn.
Gọi \({H_1},\,\,{H_2},\,\,{H_3}\) theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của \({I_1}\) lên \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\).
\({r_1},\,\,{r_2},\,\,{r_3}\) theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm \({H_1},\,\,{H_2},\,\,{H_3}\).
Khi đó ta có \({I_1}{H_1}^2 + {I_1}{H_2}^2 + {I_1}{H_3}^2 = {I_1}{M^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 - r_1^2 + 4 - r_2^2 + 4 - r_3^2 = {I_1}{M^2}\\ \Leftrightarrow 12 - \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = {I_1}{M^2}\end{array}\)
Tổng chu vi 3 đường tròn là:
\(T = 2\pi {r_1} + 2\pi {r_2} + 2\pi {r_\;} = 2\pi \left( {{r_1} + {r_2} + {r_3}} \right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{r_1} + {r_2} + {r_3}} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right)\\ \Rightarrow {r_1} + {r_2} + {r_3} \le \sqrt {3\left( {12 - {I_1}{M^2}} \right)} \end{array}\)
\( \Rightarrow T \le 2\pi \sqrt {3\left( {12 - {I_1}{M^2}} \right)} \le 2\pi \sqrt {3\left( {12 - R_1^2} \right)} = 2\pi \sqrt {3\left( {12 - 4} \right)} = 4\pi \sqrt 6 \).
Vậy \({T_{\max }} = 4\pi \sqrt 6 \). Dấu “=” xảy ra khi \({r_1} = {r_2} = {r_3},\,\,{I_1}M = 2\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
