Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Trên tia \(AB\) lấy điểm \(C\) nằm ngoài

Câu hỏi số 481302:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Trên tia \(AB\) lấy điểm \(C\) nằm ngoài đường tròn, kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AB\) tại \(C\). Gọi \(E\)là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\), đường thẳng đi qua \(E\) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ở \(M\) và \(N\) (\(M\) khác \(A\) và \(B\)). Tia \(AM,AN\) thứ tự cắt \(d\) ở \(P\) và \(Q\).

1. Chứng minh tứ giác \(BCPM\) nội tiếp.

2. Chứng minh \(AM.AP = AN.AQ\).

3. Giả sử \(MN = \dfrac{{7R}}{4}\). Tính độ dài đoạn \(ME,NE\) theo \(R\).

4. Cho \(A,B,C\) cố định. Chứng minh rằng khi \(MN\) quay quanh điểm \(E\) (\(M\) khác \(A,B\)) thì tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481302

Phương pháp giải

1. Tứ giác có hai góc đối bù nhau là tứ giác nội tiếp

2. Bắc cầu qua \(AB.AC\)

3. Đưa về bài toán tìm hai số khi biết tổng và tích

4. Dự đoán quỹ tích của \(I\) là một đường vuông góc với \(AC\), ta sẽ chứng minh đường thẳng đó cố định bằng định lý Thales và tam giác đồng dạng

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(BCPM\) nội tiếp.

Có \(\angle AMB = 90^\circ \)(\(AB\) là đường kính đường tròn \(\left( {O;R} \right)\))

Lại có \(\angle BCP = 90^\circ \)

Suy ra tứ giác \(BCPM\) nội tiếp.

2. Chứng minh \(AM.AP = AN.AQ\).

Dễ dàng chứng minh \(\Delta AMB \sim \Delta ACP\left( {g - g} \right)\)\( \Rightarrow AM.AP = AB.AC\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(AN.AQ = AB.AC\)

Suy ra \(AM.AP = AN.AQ\).

3. Giả sử \(MN = \dfrac{{7R}}{4}\). Tính độ dài đoạn \(ME,NE\) theo \(R\).

Vì \(\Delta AEM \sim \Delta NEB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{NE}} = \dfrac{{EM}}{{EB}} \Rightarrow NE.ME = AE.EB = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\)

Mà \(ME + NE = MN = \dfrac{{7R}}{4}\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}ME = R\\NE = \dfrac{{3R}}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}ME = \dfrac{{3R}}{4}\\NE = R\end{array} \right.\end{array} \right.\)

4. Cho \(A,B,C\) cố định. Chứng minh rằng khi \(MN\) quay quanh điểm \(E\) (\(M\) khác \(A,B\)) thì tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Gọi đường thẳng \(AI\) cắt \(PQ\) tại \(D\). Vẽ \(IH\) vuông góc \(PQ\) tại \(H\).

Vì \(IH\,{\rm{//}}\,AC \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{AC}} = \dfrac{{ID}}{{DA}}\)

Từ câu 2, ta có \(AM.AP = AN.AQ \Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta AQP \Rightarrow MNQP\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\angle AOM = 2\angle ANM = 2\angle APQ = \angle AIQ\), mà \(\Delta AOM\) và \(\Delta AIQ\) cân tại \(O,I\) suy ra \(\angle OAM = \angle IAQ\).

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta ADQ\) có:

\(\angle OAM = \angle IAQ\)

\(\angle AME = \angle AQD\)(\(MNQP\) là tứ giác nội tiếp)

Suy ra \(\Delta AEM \sim \Delta ADQ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{EM}}{{DQ}}\,\,\left( 1 \right)\)

Dễ dàng chứng minh \(\Delta OEM \sim \Delta IDQ \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{ID}} = \dfrac{{EM}}{{DQ}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{OE}}{{ID}} \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{AD}} = \dfrac{{OE}}{{AE}} = \dfrac{1}{3}\)

Suy ra \(\dfrac{{IH}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}\)

Vậy \(I\) luôn nằm trên đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại một điểm nằm trên đoạn \(AC\) và cách \(C\) một đoạn có độ dài bằng \(\dfrac{1}{3}AC\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link