Cho các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 2{z^2}\). Chứng minh rằng \({x^2} - {y^2}\)

Câu hỏi số 481307:

Vận dụng

Cho các số nguyên dương \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 2{z^2}\). Chứng minh rằng \({x^2} - {y^2}\) chia hết cho 4 và 3.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481307

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất: Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, tổng hai số chia hết cho 2 thì hai số đó phải cùng tính chẵn lẻ

Giải chi tiết

Ta có:

\({x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)

\({x^2} + {y^2} = 2{z^2}\)

Mà \(\left( {2{z^2}} \right) \vdots 2\)\( \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) \vdots 2\)nên \(x,y\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right) \vdots 2\\\left( {x + y} \right) \vdots 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \vdots 4.\)

Một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

+) Nếu \(z\) không chia hết cho 3 thì \({z^2}\) chia 3 dư 1, khi đó \(2{z^2}\) chia 3 dư 2, suy ra \({x^2} + {y^2}\) chia 3 dư 2. Mà \({x^2},{y^2}\) chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, suy ra \({x^2},{y^2}\) đều chia 3 dư 1, suy ra \({x^2} - {y^2}\) chia hết cho 3.

+) Nếu \(z\)chia hết cho 3 thì \({x^2} + {y^2}\) chia hết cho 3 mà \({x^2},{y^2}\) chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, suy ra \({x^2},{y^2}\) đều chia hết cho 3, suy ra \({x^2} - {y^2}\) chia hết cho 3.

Vậy \({x^2} - {y^2}\) chia hết cho 4 và 3.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link