Cho hai số thực \(m,\,\,n \ne 0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{2}.\) Chứng minh rằng

Câu hỏi số 481333:

Vận dụng

Cho hai số thực \(m,\,\,n \ne 0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{2}.\) Chứng minh rằng phương trình \(\left( {{x^2} + mx + n} \right)\left( {{x^2} + nx + m} \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481333

Phương pháp giải

Nếu tổng hai số là không âm thì ít nhất một trong hai số đó không âm.

Giải chi tiết

Xét phương trình: \(\left( {{x^2} + mx + n} \right)\left( {{x^2} + nx + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + mx + n = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + nx + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Có \({\Delta _1} = {m^2} - 4n,{\Delta _2} = {n^2} - 4m\)

\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = {m^2} + {n^2} - 4\left( {m + n} \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Theo giả thiết: \(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m + n = \dfrac{{mn}}{2},\) thay vào \(\left( 3 \right)\) ta được:

\({\Delta _1} + {\Delta _2} = {m^2} + {n^2} - 4.\dfrac{{mn}}{2}\) \( = {\left( {m - n} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\) nên tồn tại ít nhất một trong hai biệt thức \({\Delta _1},{\Delta _2}\) không âm.

Suy ra ít nhất một trong hai phương trình \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) có nghiệm

Suy ra phương trình \(\left( {{x^2} + mx + n} \right)\left( {{x^2} + nx + m} \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link