Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + m} = \sqrt {3x + 6}

Câu hỏi số 483512:

Vận dụng

Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + m} = \sqrt {3x + 6} \) có nghiệm là:

A. 0

B. Vô số

C. 6

D. 7

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483512

Phương pháp giải

- Giải phương trình chứa căn \(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = B\end{array} \right.\).

- Đưa về phương trình bậc hai, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2x + m} = \sqrt {3x + 6} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\{x^2} + 2x + m = 3x + 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\{x^2} - x + m - 6 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm \(x \ge - 2\).

Ta có \(\Delta = 1 - 4\left( {m - 6} \right) = - 4m + 25 \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{25}}{4}\)

Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt { - 4m + 25} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt { - 4m + 25} }}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt { - 4m + 25} }}{2} \ge - 2\\{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt { - 4m + 25} }}{2} \ge - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{1 + \sqrt { - 4m + 25} }}{2} + 2 \ge 0\\\dfrac{{1 - \sqrt { - 4m + 25} }}{2} + 2 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 + \sqrt { - 4m + 25} \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\5 - \sqrt { - 4m + 25} \ge 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow m \in \mathbb{R}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện xác định ta có \(m \le \dfrac{{25}}{4}\).

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.