Xác định giá trị nhỏ nhất của đa thức thương của phép chia đa thức \({x^3} + {x^2} - 7x + 20\)

Câu hỏi số 483890:

Vận dụng

Xác định giá trị nhỏ nhất của đa thức thương của phép chia đa thức \({x^3} + {x^2} - 7x + 20\) chia cho đa thức \(x + 4\).

A. \(\dfrac{{11}}{2}\)

B. \(\dfrac{9}{2}\)

C. \(\dfrac{{11}}{4}\)

D. \(\dfrac{9}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483890

Phương pháp giải

- Đặt phép tính chia và sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

- Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức thương.

Giải chi tiết

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 7x + 20 = {x^3} + 4{x^2} - 3{x^2} - 12x + 5x + 20\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2}.\left( {x + 4} \right) - 3x.\left( {x + 4} \right) + 5.\left( {x + 4} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 3x + 5} \right).\left( {x + 4} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {{x^2} - 3x + 5} \right)\) là đa thức thương trong phép chia đa thức \(\left( {{x^3} + {x^2} - 7x + 20} \right)\) cho đa thức \(\left( {x + 4} \right)\).

Ta có: \({x^2} - 3x + 5\)\( = {x^2} - 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot x + {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4}\)\( = {\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4}\)

Vì \({\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)

\( \Rightarrow {\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \ge \dfrac{{11}}{4}\) với mọi \(x \in R\).

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x - \dfrac{3}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \dfrac{3}{2}\).

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left( {{x^2} - 3x + 5} \right)\) là \(\dfrac{{11}}{4}\) tại \(x = \dfrac{3}{2}\).

Vậy thương của phép chia đa thức \({x^3} + {x^2} - 7x + 20\) cho đa thức cho đa thức \(x + 4\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{{11}}{4}\) tại \(x = \dfrac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link