Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 485460:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({60^0}\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485460

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SA\).

- Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow SH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SH} \right) = \angle ASH = \angle ASM = {60^0}\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow SA = AM.\cot {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.