Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị

Câu hỏi số 485472:

Vận dụng cao

Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - wz - 4} \right|\) bằng:

A. \(9\)

B. \(6\)

C. \(10\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485472

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(w = x + yi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {x + yi} \right) - 2 + 5i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - y - 2 + \left( {x + 5} \right)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 5; - 2} \right)\) bán kính \(R = 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - {{\left| z \right|}^2}} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {\left( {z - \overline z } \right) - w} \right|\\\,\,\,\,\, = 2\left| {\left( {z - \overline z } \right) - w} \right|\end{array}\)

Đặt \(z = a + bi\). Vì \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Rightarrow {b^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le b \le 2\).

Gọi \(N\) là điểm biểu diễn số phức \(z - \overline z = a + bi - a + bi = 2bi \Rightarrow N\left( {0;2b} \right)\).

\( \Rightarrow N\) thuộc đoạn thẳng \(AB\), với \(A\left( {0;4} \right),\,\,B\left( {0; - 4} \right)\).

Khi đó \(P = 2\left| {\left( {z - \overline z } \right) - w} \right| = 2MN \ge 2CD = 8\). Dấu “=” xảy ra khi \(M \equiv C,\,\,N \equiv D\).

Vậy \(\min \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = 8\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.