Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới, \(f\left(

Câu hỏi số 485471:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới, \(f\left( 1 \right) = 0\), \(f''\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 0\) và \(f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{{20}}{{27}}\). Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(3{x_2} - 6{x_1} = 3\sqrt 7 - 2\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {7,1;7,3} \right)\)

B. \(\left( {6,5;6,7} \right)\)

C. \(\left( {6,7;6,9} \right)\)

D. \(\left( {6,9;7,1} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485471

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có \(f''\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}\) là hoành độ điểm uốn của đồ thị hàm số.

Khi đó với \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 điểm cực trị của hàm số thì ta có \({x_1} + {x_2} = 2.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\).

Lại có: \(3{x_2} - 6{x_1} = 3\sqrt 7 - 2\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{4}{3}\\3{x_2} - 6{x_1} = 3\sqrt 7 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{3}\\{x_2} = \dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).

Khi đó \(f'\left( x \right)\) có dạng \(f'\left( x \right) = k\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - x\,} \right) = k\left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right)\,\,\left( {k > 0} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = k\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{2{x^2}}}{3} - \dfrac{1}{3}x + C} \right) = \dfrac{k}{3}\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + C} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{{20}}{{27}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{k}{3}\left( { - 2 + C} \right) = 0\\\dfrac{k}{3}\left( { - \dfrac{{34}}{{27}} + C} \right) = \dfrac{{20}}{{27}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3\\C = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 3\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{\dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{3}}^1 {3\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} \\{S_2} = - \int\limits_1^{\dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{3}} {3\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} \approx 6,85\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.