Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) thỏa mãn \(\left( {1 + \sqrt {{{\ln }^2}a} + \ln a} \right)\left( {\sqrt

Câu hỏi số 485473:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) thỏa mãn \(\left( {1 + \sqrt {{{\ln }^2}a} + \ln a} \right)\left( {\sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3} \right) \le 1\)?

A. \(4\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485473

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

ĐK: \(a > 0\).

Vì \(\sqrt {1 + {{\ln }^2}a} > \left| {\ln a} \right| \ge \ln a \Rightarrow \sqrt {1 + {{\ln }^2}a} - \ln a > 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {1 + {{\ln }^2}a} + \ln a} \right)\left( {\sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3}}{{\sqrt {1 + {{\ln }^2}a} - \ln a}} \le 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} + a - 3 \le \sqrt {1 + {{\ln }^2}a} + \left( { - \ln a} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = \sqrt {1 + {t^2}} + t\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} + 1 = \dfrac{{t + \sqrt {1 + {t^2}} }}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {a - 3} \right) \le f\left( { - \ln a} \right) \Leftrightarrow a - 3 \le - \ln a \Leftrightarrow a - 3 + \ln a \le 0\).

Xét hàm số \(g\left( a \right) = a - 3 + \ln a\,\,\left( {a > 0} \right)\) ta có \(g'\left( a \right) = 1 + \dfrac{1}{a} > 0\,\,\forall a > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( a \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow g\left( a \right) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm \(a > 0\).

Ta có \(g\left( 2 \right).g\left( 3 \right) = \left( {\ln 2 - 1} \right)\ln 3 < 0 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \({a_0} \in \left( {2;3} \right)\).

Vậy \(g\left( a \right) \le 0 \Leftrightarrow a \le {a_0} \Rightarrow a \in \left( {0;{a_0}} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.