Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| {z - 2w} \right| = 4\) và \(\left| {3z + w} \right| = 5\). Khi

Câu hỏi số 486205:

Vận dụng cao

Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| {z - 2w} \right| = 4\) và \(\left| {3z + w} \right| = 5\). Khi \(\left| {5z - 3w + i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị \(\left| {z - w + 1} \right|\).

A. \(\dfrac{{17\sqrt 2 }}{7}\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {170} }}{7}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486205

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT \(\left| {u + v} \right| \ge \left| {\left| u \right| - \left| v \right|} \right|\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(u = kv\,\,\left( {k \le 0} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left| {z - 2w} \right| = 4 \Rightarrow \left| {2z - 4w} \right| = 8\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {5z - 3w + i} \right| \ge \left| {\left| {5z - 3w} \right| - \left| i \right|} \right| = \left| {\left| {5z - 3w} \right| - 1} \right|\\\left| {5z - 3w} \right| = \left| {2z - 4w + 3z + w} \right| \ge \left| {\left| {2z - 4w} \right| - \left| {3z + w} \right|} \right| = \left| {8 - 5} \right| = 3\\ \Rightarrow \left| {5z - 3w + i} \right| \ge \left| {3 - 1} \right| = 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ \(\left\{ \begin{array}{l}i = k\left( {5z - 3w} \right)\,\,\left( {k \le 0} \right)\\3z + w = l\left( {2z - 4w} \right)\,\,\left( {l \le 0} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}3z + w = a\\2z - 4w = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = 5\\\left| b \right| = 8\\\left| {a + b} \right| = 3\end{array} \right.\) ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i = k\left( {a + b} \right)\\a = lb\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| i \right| = \left| k \right|\left| {a + b} \right|\\\left| a \right| = \left| l \right|\left| b \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \left| k \right|.3\\5 = \left| l \right|.8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| k \right| = \dfrac{1}{3}\\\left| l \right| = \dfrac{5}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - \dfrac{1}{3}\\l = - \dfrac{5}{8}\end{array} \right.\,\,\left( {k,\,\,l \le 0} \right)\end{array}\)

Do đó dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}i = - \dfrac{1}{3}\left( {a + b} \right)\\a = - \dfrac{5}{8}b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - 3i\\a = - \dfrac{5}{8}b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5i\\b = - 8i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3z + w = 5i\\2z - 4w = - 8i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{6}{7}i\\w = \dfrac{{17}}{7}i\end{array} \right.\)

Vậy \(\left| {z - w + 1} \right| = \left| {\dfrac{6}{7}i + \dfrac{{17}}{7}i + 1} \right| = \dfrac{{\sqrt {170} }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.