Cho \(\left| {6{z_1} - i} \right| = \left| {6{z_2} - i} \right| = \left| {2 + 3i} \right|\), \(\left| {{z_1} - {z_2}}

Câu hỏi số 486405:

Vận dụng cao

Cho \(\left| {6{z_1} - i} \right| = \left| {6{z_2} - i} \right| = \left| {2 + 3i} \right|\), \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \dfrac{1}{3}\). Tính \(\left| {{z_1} + {z_2} - \dfrac{1}{3}i} \right|\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486405

Giải chi tiết

Đặt \(6{z_1} = {z_1}'\) có điểm biểu diễn là \(M\), \(6{z_2} = {z_2}'\) có điểm biểu diễn là \(N\).

Theo bài ra ta có: \(\left| {6{z_1} - i} \right| = \left| {6{z_2} - i} \right| = \left| {2 + 3i} \right| \Rightarrow \left| {{z_1}' - i} \right| = \left| {{z_2}' - i} \right| = \sqrt {13} \).

\( \Rightarrow M,\,\,N\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( {0;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {13} \).

Ta lại có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \left| {6{z_1} - 6{z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {{z_1}' - {z_2}'} \right| = 2\) \( \Rightarrow MN = 2\).

Gọi \(J\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow J\) là điểm biểu diễn số phức \(\dfrac{{{z_1}' + {z_2}'}}{2}\).

Ta có: \(I{J^2} = \dfrac{{I{M^2} + I{N^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4} = 13 - \dfrac{{{2^2}}}{4} = 12\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\dfrac{{{z_1}' + {z_2}'}}{2} - i} \right| = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {3\left( {{z_1} + {z_2}} \right) - i} \right| = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2} - \dfrac{1}{3}i} \right| = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.