Cho \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\left( {{x^3} + 1} \right)\ln x + 2021{x^2} + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} = \dfrac{{{e^a}

Câu hỏi số 486406:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\left( {{x^3} + 1} \right)\ln x + 2021{x^2} + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} = \dfrac{{{e^a} + b}}{3} + \ln \dfrac{{c + 2021}}{{2021}}\) \(\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó:

A. \(a + b > c\)

B. \(a + b = c\)

C. \(b + c > a\)

D. \(c - b > a\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486406

Phương pháp giải

- Phân tích và rút gọn.

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int\limits_1^e {\dfrac{{\left( {{x^3} + 1} \right)\ln x + 2021{x^2} + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} \\ = \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^3}\ln x + \ln x + 2021{x^2} + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} \\ = \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^2}\left( {x\ln x + 2021} \right) + \ln x + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} \\ = \int\limits_1^e {\left( {{x^2} + \dfrac{{\ln x + 1}}{{2021 + x\ln x}}} \right)dx} \\ = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^e + \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} \\ = \dfrac{{{e^3} - 1}}{3} + I\end{array}\)

Xét tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} \).

Đặt \(t = 2021 + x\ln x \Rightarrow dt = \left( {\ln x + x.\dfrac{1}{x}} \right)dx = \left( {\ln x + 1} \right)dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2021\\x = e \Rightarrow t = 2021 + e\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_{2021}^{2021 + e} {\dfrac{{dt}}{t}} = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{2021}^{2021 + e} = \ln \left( {2021 + e} \right) - \ln 2021 = \ln \dfrac{{e + 2021}}{{2021}}\).

\( \Rightarrow \int\limits_1^e {\dfrac{{\left( {{x^3} + 1} \right)\ln x + 2021{x^2} + 1}}{{2021 + x\ln x}}dx} = \dfrac{{{e^3} - 1}}{3} + \ln \dfrac{{e + 2021}}{{2021}}\)

\( \Rightarrow a = 3,\,\,b = - 1,\,\,c = e\).

Vậy \(c - b > a\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.