Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x + y + x + + + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 4867:

Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤ $\frac{3}{2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x + y + x + $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ .

A. P_min = - $\frac{15}{2}$

B. P_min = $\frac{15}{4}$

C. P_min = $\frac{15}{2}$

D. P_min = $\frac{15}{6}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4867

Giải chi tiết

Trước hết dễ dàng chứng minh với mọi x; y ; z mà x, y, z > 0 ta luôn có :

( x + y + z)( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ ) ≥ 9 (*). Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z.

(*) => ( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ ) ≥ $\frac{9}{x+y+z}$

=> P = x + y + z + $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ ≥ x + y + z + $\frac{9}{x+y+z}$

Đặt x + y + z = t ( 0< t ≤ $\frac{3}{2}$ ) , xét hàm số : F(t) = t + $\frac{9}{t}$ ∈ ( 0; $\frac{3}{2}$ ]

F’(t) = 1 - $\frac{9}{t^{2}}$ => F’(t) = 0 ⇔ t = ± 3; t = ±3 $\notin$ ( 0; $\frac{3}{2}$ ]

F( $\frac{3}{2}$ ) = $\frac{15}{2}$ .

Vậy P_min = $\frac{15}{2}$ khi $\left\{\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.