Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AD\). Tiếp tuyến

Câu hỏi số 487545:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AD\). Tiếp tuyến tại \(D\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(P\), đường thẳng \(PO\) cắt đường thẳng \(AC\) tại \(M\) và cắt đường thẳng \(AB\) tại \(N.\) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\) Qua \(C\) vẽ đường thẳng song song với đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(AD\) tại \(E\) và cắt đường thẳng \(AB\) tại \(Q\). Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm \(P,O,I,D\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) \(\angle EIP = \angle EDC\).

c) \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487545

Phương pháp giải

a) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chưa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì đó là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tứ giác \(IDCE\) nội tiếp

c) Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lét

Giải chi tiết

a) Vì \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow OI \bot BC\)

Tứ giác \(POID\) có \(\angle OIP = \angle ODP = 90^\circ \) nên \(POID\) là tứ giác nội tiếp.

Vậy bốn điểm \(P,O,I,D\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Có \(\angle ICE = \angle IPN\) (đồng vị)

\(\angle IDO = \angle IPN\) (\(POID\) là tứ giác nội tiếp)

Suy ra \(\angle ICE = \angle IDE \Rightarrow IDCE\) là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\angle EIC = \angle EDC\), hay \(\angle EIP = \angle EDC\) .

c) Có \(\angle EDC = \angle ABC\) (cùng chắn cung \(AC\))

Nên \(\angle EIP = \angle ABC \Rightarrow EI\,{\rm{//}}\,BQ\), mà \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow EI\) là đường trung bình của tam giác \(BCQ\)

Suy ra \(E\) là trung điểm \(QC\).

Có \(MN\,{\rm{//}}\,QC\), Áp dụng định lý Ta – lét ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{NO}}{{QE}} = \frac{{AO}}{{AE}}\\\frac{{MO}}{{CE}} = \frac{{AO}}{{AE}}\end{array}\)

Suy ra \(\frac{{NO}}{{QE}} = \frac{{MO}}{{CE}}\), mà \(QE = CE \Rightarrow OM = ON\)

Vậy \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link