a) Cho biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}.\) Tìm số tự nhiên \(x\)

Câu hỏi số 487546:

Vận dụng cao

a) Cho biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}.\) Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất có hai chữ số để \(P\) có giá trị là số chính phương.

b) Cho \(P\left( x \right)\) là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên thỏa mãn \(P\left( 0 \right) = 21;P\left( 1 \right) = 7.\) Chứng minh rằng \(P\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487546

Phương pháp giải

a) Dùng hằng đẳng thức phân tích và rút gọn biểu thức \(P\)

b) Sử dụng định lý Bezout và tính chẵn lẻ của hai số nguyên liên tiếp

Giải chi tiết

a) Cho biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}.\) Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất có hai chữ số để \(P\) có giá trị là số chính phương.

Điều kiện xác định: \(x \ge 1\).

\(\begin{array}{l}P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}\\P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}\\P = \frac{{{{\left( {x - 1 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}\\P = \frac{{{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}}}\\P = {\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2}\end{array}\)

Để \(P\) có giá trị là số chính phương thì \(x - 1 = {t^2}\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow x = {t^2} + 1\)

Ta có \(x\) có hai chữ số \( \Leftrightarrow x \le 99 \Leftrightarrow {t^2} \le 98 \Rightarrow t \le 9\) (do \(t \in \mathbb{N}\) )

Vậy số tự nhiên \(x\) lớn nhất có hai chữ số là \(x = {9^2} + 1 = 82\) thì \(P\) có giá trị là số chính phương.

b) Cho \(P\left( x \right)\) là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên thỏa mãn \(P\left( 0 \right) = 21;P\left( 1 \right) = 7.\) Chứng minh rằng \(P\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên.

Giả sử \(P\left( x \right)\) có nghiệm nguyên là \(x = a \Rightarrow P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) cũng là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên.

Khi đó \(P\left( 0 \right) = - a.Q\left( 0 \right)\) và \(P\left( 1 \right) = \left( {1 - a} \right).Q\left( 1 \right)\)

Vì \(a\) và \(a - 1\) là hai số nguyên liên tiếp nên một trong hai số là số chẵn, suy ra \(P\left( 0 \right)\) chẵn hoặc \(P\left( 1 \right)\) chẵn. Mà \(P\left( 0 \right) = 21;P\left( 1 \right) = 7\) nên \(P\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link