Cho số tự nhiên \(a = {3^{13}}{.5^7}{.7^{20}}\) a) Gọi \(A\) là tập hợp các số nguyên dương \(k\) sao

Câu hỏi số 487596:

Vận dụng

Cho số tự nhiên \(a = {3^{13}}{.5^7}{.7^{20}}\)
a) Gọi \(A\) là tập hợp các số nguyên dương \(k\) sao cho \(k\) là ước của \(a\)và \(k\) chia hết cho 105. Hỏi tập \(A\) có bao nhiêu phần tử

b) Giả sử \(B\)là một tập con bất kỳ của \(A\) có 9 phần tử. Chứng minh rằng ta luôn có thể tìm được hai phần tử của \(B\) sao cho tích của chúng là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487596

Phương pháp giải

a) Các số thuộc \(A\) sẽ có dạng \({3^x}{.5^y}{.7^z}\) với \(1 \le y \le 7,1 \le z \le 20\)

b) Sử dụng nguyên lý Dirichlet, trong đó các “chuồng thỏ” là tính chẵn lẻ của bộ \(\left( {x,y,z} \right)\) còn “thỏ” là \(9\) phần tử đang xét

Giải chi tiết

Cho số tự nhiên \(a = {3^{13}}{.5^7}{.7^{20}}\)

Do \(a\)chỉ có ba ước nguyên tố là \(3;5;7\)nên dễ thấy các ước của \(a\)cũng không có ước nguyên tố nào khác với 3 số này. Vì thế dễ thấy các số thuộc \(A\) sẽ có dạng \({3^x}{.5^y}{.7^z}\), trong đó \(x,y,z\)là các số tự nhiên

Do \({3^x}{.5^y}{.7^z}\) là ước của \({3^{13}}{.5^7}{.7^{20}}\)nên \(x \le 13,y \le 7,z \le 20.\)Hơn nữa, ta lại có \({3^x}{.5^y}{.7^z}\)là bội của \(105 = 3.5.7\)nên \(x \ge 1,y \ge 1,z \ge 1\)

Vậy các số thuộc \(A\) là những số có dạng \({3^x}{.5^y}{.7^z}\)trong đó \(1 \le x \le 13,\)\(1 \le y \le 7,1 \le z \le 20.\) Dễ thấy có 13 cách chọn \(x,7\)cách chọn\(y\)và \(20\)cách chọn \(z.\)Vậy tập hợp A có \(13.7.20 = 1820\) phần tử.

Xét số \(k\) có dạng \({3^x}{.5^y}{.7^z}\,\left( {x,y,z \in \mathbb{N}*} \right)\) với \(k \in A\).

Mỗi số \(x,y,z\) đều có một trong hai tính chất là chẵn hoặc lẻ suy ra có \(2.2.2 = 8\) cách chọn các tính chất cho bộ \(x,y,z\). Cụ thể đó là \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {l,l,l} \right),\left( {c,c,c} \right),\left( {l,c,l} \right),\left( {c,l,l} \right),\left( {l,l,c} \right),\left( {c,c,l} \right),\left( {c,l,c} \right),\left( {l,c,c} \right)\) với \(l = \)lẻ, \(c = \) chẵn.

Theo nguyên lý Dirichlet, trong \(9\) số, tồn tại ít nhất 2 số có tính chất của \(\left( {x,y,z} \right)\) là như nhau.

Khi đó tích của hai số này có dạng \({3^m}{.5^n}{.7^p}\) với \(m,n,p\) là các số chẵn, hay tích đó là một số chính phương.

Hoàn tất chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link