Đường tròn \(\left( I \right)\)nội tiếp tam giác \(ABC\)tiếp xúc với các cạnh \(AB,BC,CA\)lần

Câu hỏi số 487601:

Vận dụng

Đường tròn \(\left( I \right)\)nội tiếp tam giác \(ABC\)tiếp xúc với các cạnh \(AB,BC,CA\)lần lượt tại \(D,E,F.\)Kẻ đường kính \(EJ\)của đường tròn \(\left( I \right)\). Gọi \(d\)là đường thẳng qua \(A\)song song với \(BC.\)Đường thẳng \(JD\)cắt \(d,BC\)lần lượt tại \(L,H\).

a) Chứng minh: \(E,F,L\)thẳng hàng.

b) \(JA,JF\)cắt \(BC\)lần lượt tại \(M,K.\)Chứng minh \(MH = MK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487601

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông… để chứng minh \(\Delta ALF \sim \Delta CEF\)

b) Sử dụng định lý Ta – lét và hệ quả

Giải chi tiết

a) Ta có \(JE\) là đường kính của (I) nên \(\angle JDE = {90^0}\)và \(\Delta HDE\)vuông ở \(D\). Chú ý rằng \(BD = BE\), do cùng là tiếp tuyến kẻ từ \(B\) dến \(\left( I \right)\)nên \(BD = BH\)(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). Do đó \(\Delta BHD\)cân ở B

Vì \(AL\,{\rm{//}}\,BH \Rightarrow \Delta ADL \sim \Delta BDH,\)kéo theo \(\Delta ADL\)cân ở \(A\)

\( \Rightarrow AL = AD = AF\)

Vì \(AL\,{\rm{//}}\,CE \Rightarrow \angle LAF = \angle FCE,\)mà \(\Delta ALF,\Delta CEF\)đều cân có các góc ở đỉnh bằng nhau nên chúng đồng dạng

Suy ra \(\angle AFL = \angle CFE \Rightarrow L,F,E\)thẳng hàng.

b) Kéo dài \(JF\) cắt \(d\)ở \(T\) thì tương tự câu a) ta có: \(T,D,E\)thẳng hàng và \(AT = AD = AF = AL\)

Theo định lý Ta – let với \(d\,{\rm{//}}\,BC\)thì \(\frac{{AL}}{{MH}} = \frac{{AJ}}{{JM}} = \frac{{AT}}{{MK}}\)mà \(AT = AL\)nên \(MH = MK\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link