Cho \(a,b,c\)là các số thực có tổng bằng \(0\)và \( - 1 \le a,b,c \le 1.\)Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 487897:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\)là các số thực có tổng bằng \(0\)và \( - 1 \le a,b,c \le 1.\)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {a^2} + 2{b^2} + {c^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487897

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý Dirichlet và điều kiện đã cho của bài toán.

Giải chi tiết

Ta có : \(P = {\left( {a + c} \right)^2} + 2{b^2} - 2ac = 3{b^2} - 2ac\)

Nếu \(ac \ge 0 \Rightarrow 3{b^2} - ac \le 3.1 - 0 = 3\). Đẳng thức xảy ra khi \({b^2} = 1,ac = 0\)

Chẳng hạn bộ \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\)thỏa mãn \(P = 3\)

Nếu \(ac < 0\)thì \(a,c\)trái dấu và khi đó, \(b\) sẽ cùng dấu với một trong hai số \(a;c.\)Không mất tính tổng quát, giả sử \(ab \ge 0.\)Khi đó ta viết lại: \(P = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} = 2{c^2} + {b^2} - 2ab\)

Suy ra \(P \le 2.1 + 1 - 2.0 = 3.\)Vậy GTLN của \(P\)là 3, dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link