Giả sử phương trình \(2{x^2} + 2ax + 1 - b = 0\) có hai nghiệm nguyên (với \(a,b\) là tham số). Chứng

Câu hỏi số 488155:

Vận dụng cao

Giả sử phương trình \(2{x^2} + 2ax + 1 - b = 0\) có hai nghiệm nguyên (với \(a,b\) là tham số). Chứng minh rằng \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên và không chia hết cho \(3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:488155

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi – ét và tính chất cở bản của số chính phương (một số chính phương khi chia \(3\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\))

Giải chi tiết

Phương trình có hai nghiệm suy ra \(\Delta ' = {a^2} + 2b - 2 \ge 0\)

Khi đó theo Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = \frac{{1 - b}}{2}\end{array} \right.\)

Vì hai nghiệm là các số nguyên nên ta có \(a,b\) phải là số nguyên và \(b\) phải là số lẻ. Suy ra \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên.

Khi \(a,b\) là số nguyên thì \(\Delta ' = {a^2} + 2b - 2\) phải là số chính phương.

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(a \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right)\)

Nếu \(b \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right)\)

Khi đó \({a^2} - {b^2} + 2\) hiển nhiên không chia hết cho 3

Nếu \(b \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\), hay \({a^2} - {b^2} + 2\) không chia hết cho 3

Nếu \(b \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\)

TH2: \(a \equiv \pm 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\)

Nếu \(b \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} + 2b - 2 \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right)\), không thể là số chính phương, không thỏa mãn

Nếu \(b \equiv \pm 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {b^2} \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right)\) hay \({a^2} - {b^2} + 2\) không chia hết cho 3

Vậy \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên và không chia hết cho \(3\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link