Giả sử phương trình \(2{x^2} + 2ax + 1 - b = 0\) có hai nghiệm nguyên (với \(a,b\) là tham số). Chứng

Câu hỏi số 488155:

Vận dụng cao

Giả sử phương trình \(2{x^2} + 2ax + 1 - b = 0\) có hai nghiệm nguyên (với \(a,b\) là tham số). Chứng minh rằng \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên và không chia hết cho \(3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:488155

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi – ét và tính chất cở bản của số chính phương (một số chính phương khi chia \(3\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\))

Giải chi tiết

Phương trình có hai nghiệm suy ra \(\Delta ' = {a^2} + 2b - 2 \ge 0\)

Khi đó theo Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = \frac{{1 - b}}{2}\end{array} \right.\)

Vì hai nghiệm là các số nguyên nên ta có \(a,b\) phải là số nguyên và \(b\) phải là số lẻ. Suy ra \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên.

Khi \(a,b\) là số nguyên thì \(\Delta ' = {a^2} + 2b - 2\) phải là số chính phương.

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(a \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right)\)

Nếu \(b \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right)\)

Khi đó \({a^2} - {b^2} + 2\) hiển nhiên không chia hết cho 3

Nếu \(b \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\), hay \({a^2} - {b^2} + 2\) không chia hết cho 3

Nếu \(b \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\)

TH2: \(a \equiv \pm 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\)

Nếu \(b \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} + 2b - 2 \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right)\), không thể là số chính phương, không thỏa mãn

Nếu \(b \equiv \pm 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {b^2} \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right)\) hay \({a^2} - {b^2} + 2\) không chia hết cho 3

Vậy \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên và không chia hết cho \(3\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link