Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x{\ln ^2}x\), trục hoành và hai

Câu hỏi số 490198:

Vận dụng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x{\ln ^2}x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = e\).

A. \(S = \dfrac{1}{4}\left( {{e^2} + 1} \right)\)

B. \(S = \dfrac{1}{4}\left( {{e^2} - 1} \right)\)

C. \(S = \dfrac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)\)

D. \(S = \left( {{e^2} - 1} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490198

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) được xác định \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Diện tích hình phẳng cần tính bằng \(S = \int\limits_1^e {x{{\ln }^2}x{\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\ln ^2}x\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{2\ln x}}{x}{\rm{d}}x\\v = \dfrac{1}{2}{x^2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow S = \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} \)\( = \dfrac{1}{2}{e^2} - \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} \)

Tính \({S_1} = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} \); Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{1}{x}{\rm{d}}x\\v = \dfrac{1}{2}{x^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_1} = \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}\ln x} \right|_1^e - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e {x{\rm{d}}x} \)\( = \dfrac{1}{2}{e^2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e {x{\rm{d}}x} \)\( = \dfrac{1}{2}{e^2} - \left. {\dfrac{1}{4}{x^2}} \right|_1^e\)\( = \dfrac{1}{4}{e^2} + \dfrac{1}{4}\).

Vậy \(S = \dfrac{1}{2}{e^2} - \left( {\dfrac{1}{4}{e^2} + \dfrac{1}{4}} \right)\)\( = \dfrac{1}{4}\left( {{e^2} - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.