Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {{m^2} - m} \right){x^3}}}{3} + \left( {{m^2} - m} \right){x^2} + mx + 2\). Có bao

Câu hỏi số 490878:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {{m^2} - m} \right){x^3}}}{3} + \left( {{m^2} - m} \right){x^2} + mx + 2\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490878

Phương pháp giải

- Xét 2 TH \({m^2} - m = 0\) và \({m^2} - m \ne 0\).

- Với TH \({m^2} - m \ne 0\), tính \(y'\) và tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Giải chi tiết

TH1: \({m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\).

+ Với \(m = 0 \Rightarrow y = 2\) là hàm hằng.

+ Với \(m = 1 \Rightarrow y = x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

TH2: \({m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 1\end{array} \right.\).

Ta có \(y' = \left( {{m^2} - m} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - m} \right)x + m\).

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m > 0\\\Delta = {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - \left( {{m^2} - m} \right)m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\\left( {{m^2} - m} \right)\left( {{m^2} - 2m} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\{m^2} - 2m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\0 \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 2\end{array}\)

Kết hợp các TH ta có \(1 \le m \le 2\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.