Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 3\),

Câu hỏi số 490885:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 3\), \(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 2\), \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = 3\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(5\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490885

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân, tích phân từng phần và tính chất tích phân.

Giải chi tiết

Xét tích phân \(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 2\) ta có:

\(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 2\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }}dx} = 2\int\limits_1^4 {f\left( {\sqrt x } \right)d\left( {\sqrt x } \right)} = \int\limits_1^2 {f\left( u \right)du} = 1\)

Xét tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = 3\), đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow 3 = 2f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow 3 = 2.3 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 3\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( u \right)du} = 3 - 1 = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.