Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\ln x + 2}}{{1 + x\ln x}}dx} = ae + b\ln \left( {e + 1}

Câu hỏi số 492318:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\ln x + 2}}{{1 + x\ln x}}dx} = ae + b\ln \left( {e + 1} \right) + c\) trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Tỉ số \(\dfrac{{2a + c}}{b}\) bằng:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \( - 1\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492318

Phương pháp giải

Tách thành hai tích phân.

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = 1 + x\ln x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_1^e {\frac{{\left( {x + 1} \right)\ln x + 2}}{{1 + x\ln x}}dx} = \int\limits_1^e {\frac{{x\ln x + \ln x + 2}}{{1 + x\ln x}}dx} \\ = \int\limits_1^e {\frac{{x\ln x + 1 + \ln x + 1}}{{1 + x\ln x}}dx} = \int\limits_1^e {dx} + \int\limits_1^e {\frac{{\ln x + 1}}{{1 + x\ln x}}dx} \\ = \left. x \right|_1^e + \int\limits_1^e {\frac{{\ln x + 1}}{{1 + x\ln x}}dx} = e - 1 + I\end{array}\)

Đặt \(t = 1 + x\ln x \Rightarrow dt = \left( {\ln x + x.\frac{1}{x}} \right)dx = \left( {\ln x + 1} \right)dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 1 + e\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^{1 + e} {\frac{{dt}}{t}} = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_1^{1 + e} = \ln \left( {1 + e} \right)\).

\( \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\left( {x + 1} \right)\ln x + 2}}{{1 + x\ln x}}dx} = e - 1 + \ln \left( {e + 1} \right)\).

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 1,\,\,c = - 1\).

Vậy \(\frac{{2a + c}}{b} = \frac{{2 - 1}}{1} = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.