Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt

Câu hỏi số 492317:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm của cạnh \(AB\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492317

Phương pháp giải

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {SAB} \right)\) là \(SB\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SBC\) ta có \(SB = BC.\cot {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SBH\) ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.