Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\).

Câu hỏi số 492852:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\). Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \dfrac{a}{b} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{c}\)(với \(a,b,c\) là các số nguyên dương, \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b + c\) bằng

A. \(27\).

B. \(5\).

C. \(20\).

D. \(23\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492852

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ để tìm hàm \(y = f\left( x \right)\)

Áp dụng các dữ kiện để tìm \(a;\,b;\,c\).

Giải chi tiết

Ta thấy \(f'\left( x \right) = x\sin x \Rightarrow f\left( x \right) = \int {x\sin xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = - x\cos x + \int {\cos xdx} \\ \Rightarrow f\left( x \right) = - x\cos x + \sin x + C\end{array}\)

Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 2 \Rightarrow C = 1\)

Nên \(f\left( x \right) = \sin x - x\cos x + 1\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\cos x} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left( {\sin x - x\cos x + 1} \right)dx} = \dfrac{7}{4} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 4\\c = 16\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 27\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.