Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {1 - 2i} \right)z\) là số thuần ảo và \({z^2} = \left| z

Câu hỏi số 493885:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {1 - 2i} \right)z\) là số thuần ảo và \({z^2} = \left| z \right|\left( {1 + i} \right) + 2\left( {1 - i} \right)\)?

A. 3

B. 0

C. 2

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493885

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\)ta có:

\(\left( {1 - 2i} \right)z = \left( {1 - 2i} \right)\left( {a + bi} \right) = a + 2b + \left( {b - 2a} \right)i\) là số thuần ảo nên \(a + 2b = 0\, \Leftrightarrow a = - 2b\).

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^2} = \left| z \right|\left( {1 + i} \right) + 2\left( {1 - i} \right)}\\
{ \Leftrightarrow {z^2} = \left| z \right| + 2 + \left( {\left| z \right| - 2} \right)i}\\
{ \Leftrightarrow {{\left| z \right|}^4} = {{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| - 2} \right)}^2}}\\
{ \Leftrightarrow {{\left| z \right|}^4} = 2{{\left| z \right|}^2} + 8}\\
{ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left| z \right|^2} = 4\\
{\left| z \right|^2} = - 2\,\,\left( {loai} \right)
\end{array} \right.}
\end{array}\)

Với \({\left| z \right|^2} = 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\)

\( \Rightarrow 4{b^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow b = \pm \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Mỗi giá trị của \(b\) cho 1 giá trị tương ứng của \(a.\)

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.