Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc 4 thỏa mãn \(f\left( 1 \right) \le 0\) và hàm số

Câu hỏi số 494283:

Vận dụng cao

Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc 4 thỏa mãn \(f\left( 1 \right) \le 0\) và hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) + {x^2}} \right|\) có mấy điểm cực trị?

A. 1

B. 3

C. 5

D. 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494283

Giải chi tiết

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + {x^2}} \right)\) có \(h'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 2x\).

Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 2x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - 2\sqrt {{x^2} + 1} \,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \ge 1\), phương trình (*) trở thành \(f'\left( t \right) = - 2t\,\,\left( {t \ge 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình này có nghiệm duy nhất \({t_0} > 1 \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 1} = {t_0} \Leftrightarrow 2{x^2} = {t_0} - 1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\dfrac{{{t_0} - 1}}{2}} \).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số \(h\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

Xét phương trình \(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) + {x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) + {x^2} + 1 = 1\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \,\,\left( {t \ge 1} \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) + {t^2} = 1 \Leftrightarrow f\left( t \right) = 1 - {t^2}\,\,\left( {**} \right)\).

Từ BBT hàm số \(f'\left( x \right)\) ta thấy phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 1 nghiệm \(x = {x_0} > 1\). Do đó ta có BBT hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và \(y = 1 - {t^2}\) trên cùng mặt phẳng tọa độ:

Ta thấy phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó phương trình \(h\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) có tất cả \(3 + 2 = 5\) điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.