Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z - 3 =
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z - 3 = 0\),điểm \(M\left( {3;1;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 + 3t\\z = - 3 - 2t\end{array} \right.\).Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {3;1;1} \right)\), nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và tạo với đường thẳng \(d\) một góc nhỏ nhất. Lập phương trình của Δ .
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Dễ thấy \(M \in \left( \alpha \right)\).
Gọi \(d'\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(d\). Khi đó ta có: \(\angle \left( {d';\Delta } \right) = \left( {d;\Delta } \right)\).
Đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {0;3; - 2} \right)\), cũng là VTCP của \(d'\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\).
Lấy \(A\left( {3;4; - 1} \right) \in d\) \( \Rightarrow AM\) không đổi.
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( \alpha \right)\) và \(\Delta \) ta có \(AH \le AK\).
\( \Rightarrow \sin \angle \left( {d';\Delta } \right) = \dfrac{{AK}}{{AM}} \ge \dfrac{{AH}}{{AM}}\).
Khi đó góc giữa \(d\) và \(\alpha \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\sin \angle \left( {d';\Delta } \right)\) nhỏ nhất \( \Rightarrow K \equiv H\).
Khi đó \(\Delta \) đi qua \(M\) và \(H\).
Phương trình đường thẳng \(AH\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\).
Khi đó \(H = AH \cap \left( \alpha \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + t\\z = - 1 - t\\x + y - z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + t + 4 + t + 1 + t - 3 = 0\\x = 3 + t\\y = 4 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \dfrac{5}{3}\\x = \dfrac{4}{3}\\y = \dfrac{7}{3}\\z = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( { - \dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)//\left( {5; - 4;1} \right)\) \( \Rightarrow \Delta \) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {5; - 4;1} \right)\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
