Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3}

Câu hỏi số 494287:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;4;1} \right)\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(A\) và nội tiếp trong khối cầu \(\left( S \right)\). Khi diện tích xung quanh của hình nón \(\left( N \right)\) lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng \( - x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + 2d\) bằng:

A. 12

B. 6

C. -12

D. -6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494287

Giải chi tiết

Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3\).

Gọi \(O\) là tâm đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right)\).

Đặt \(IO = x\,\,\,\left( {0 < x < 3} \right)\) ta có: \(AO = IA + x = x + 3 = h\) là chiều cao của hình nón.

Khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt {9 - {x^2}} \).

\( \Rightarrow \) Độ dài đường sinh của hình nón là \(\,l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {6x + 18} \).

Khi đó ta có diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\sqrt {9 - {x^2}} .\sqrt {6x + 18} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {9 - {x^2}} \right)\left( {6x + 18} \right) = - 6{x^3} - 18{x^2} + 54x + 162\) với \(x \in \left( {0;3} \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = - 18{x^2} - 36x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Lập BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 3;3} \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 192\).

\( \Rightarrow \max {S_{xq}} = 8\pi \sqrt 3 \) đạt được khi \(x = 1\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AO = 4\\IO = 1\end{array} \right.\, \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IA} = \dfrac{1}{3}\left( { - 1;2; - 2} \right)\, = \left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\, \Rightarrow O\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right)\)

Mặt phẳng đáy của hình nón đi qua điểm \(O\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\) nên có phương trình là:\( - x + 2y - 2z + 6 = 0\,\).

\( \Rightarrow b = 2,\,\,c = - 2,\,\,d = 6\, \Rightarrow b + c + 2d = 12\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.