Biết rằng có hai số phức \(z\) thỏa mãn \(z.\overline z = 5\) và \(\left| {z - 3} \right| = \left|

Câu hỏi số 495599:

Vận dụng

Biết rằng có hai số phức \(z\) thỏa mãn \(z.\overline z = 5\) và \(\left| {z - 3} \right| = \left| {z + 3i} \right|\), ta kí hiệu hai số phức này là \({z_1}\) và \({z_2}\). Tính \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\).

A. \(P = 5\)

B. \(P = \sqrt 5 \)

C. \(P = 2\sqrt 5 \)

D. \(P = 10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:495599

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b\, \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}z.\overline z = 5\\\left| {z - 3} \right| = \left| {z + 3i} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 5\\\left| {a + bi - 3} \right| = \left| {a + bi + 3i} \right|\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 5\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 5\\a = - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} = 5\\a = - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \sqrt {\dfrac{5}{2}} ;\,\,b = - \sqrt {\dfrac{5}{2}} \\a = - \sqrt {\dfrac{5}{2}} ;\,\,b = \sqrt {\dfrac{5}{2}} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Có 2 số phức thỏa mãn là \({z_1} = \sqrt {\dfrac{5}{2}} - \sqrt {\dfrac{5}{2}} i\) và \({z_2} = - \sqrt {\dfrac{5}{2}} + \sqrt {\dfrac{5}{2}} i\).

Vậy \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {2\sqrt {\dfrac{5}{2}} - 2\sqrt {\dfrac{5}{2}} i} \right| = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {\dfrac{5}{2}} } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt {\dfrac{5}{2}} } \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.