Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} =

Câu hỏi số 502310:

Vận dụng cao

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 5}\\{{{\left( {xy - 1} \right)}^2} = {x^2} - {y^2} + 2}\end{array}} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(4\) nghiệm

B. \(3\) nghiệm

C. \(2\) nghiệm

D. \(1\) nghiệm

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502310

Phương pháp giải

Đặt: \(a = x + \dfrac{1}{x},\,\,b = y - \dfrac{1}{y}\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\{y \ne 0}\end{array}} \right.\)

Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 5}\\{{x^2}{y^2} - 1 - {x^2} + {y^2} = 2xy}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 5}\\{xy - \dfrac{1}{{xy}} - \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)}^2} + {{\left( {y - \dfrac{1}{y}} \right)}^2} = 5}\\{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {y - \dfrac{1}{y}} \right) = 2}\end{array}} \right.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = x + \dfrac{1}{x}}\\{b = y - \dfrac{1}{y}}\end{array}} \right.\) , khi đó hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 5}\\{ab = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab = 5}\\{ab = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {a + b} \right)}^2} = 9}\\{ab = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = \pm 3}\\{ab = 2}\end{array}} \right.\)

Với hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 3}\\{ab = 2}\end{array}} \right.\) thì \(a,\,\,b\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = 1}\\{X = 2}\end{array}} \right.\)

Do đó hệ có nghiệm \(\left( {a;\,\,b} \right)\) là \(\left( {2;\,\,1} \right)\) và \(\left( {1;\,\,2} \right)\)

Với hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = - 3}\\{ab = 2}\end{array}} \right.\) thì \(a,b\) là nghiệm của phương trình \({X^2} + 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = - 1}\\{X = - 2}\end{array}} \right.\)

Do đó hệ có nghiệm \(\left( {a;\,\,b} \right)\) là \(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\, - 2} \right)\)

Vì \(\left| a \right| = \left| {x + \dfrac{1}{x}} \right| = \left| x \right| + \left| {\dfrac{1}{x}} \right| \ge 2\) nên chỉ còn hai trường hợp sau

TH1: \(\left( {a;\,\,b} \right) = \left( {2;\,\,1} \right)\) khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = x + \dfrac{1}{x}}\\{1 = y - \dfrac{1}{y}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x + 1 = 0}\\{{y^2} - y - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) là \(\left( {1;\,\,\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\) và \(\left( {1;\,\,\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

TH2: \(\left( {a;\,\,b} \right) = \left( { - 2;\,\, - 1} \right)\) khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 = x + \dfrac{1}{x}}\\{ - 1 = y - \dfrac{1}{y}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + 1 = 0}\\{{y^2} + y - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{y = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) là \(\left( { - 1;\,\,\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,\,\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( {1;\,\,\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10