Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

\({\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:502423

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của đa thức

Giải chi tiết

\({\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}\)

\(\begin{array}{l}VT = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2a{b^2}c + 2ab{c^2} + 2{a^2}bc\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2abc\left( {a + b + c} \right)\end{array}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} = VP\)

Vậy nếu \(a + b + c = 0\) thì \({\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

\({a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{\left( {ab + bc + ca} \right)^2}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:502424

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của đa thức

Giải chi tiết

\(VT = {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 2ab - 2bc - 2ac} \right]^2} - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}\\ = {\left( { - 2ab - 2bc - 2ac} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}\\ = 4{\left( {ab + bc + ac} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}\\ = 4\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} - 2a{b^2}c - 2ab{c^2} - 2{a^2}bc} \right) - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}\\ = 4{a^2}{b^2} + 4{b^2}{c^2} + 4{a^2}{c^2} - 8a{b^2}c - 8ab{c^2} - 8{a^2}bc - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}\\ = 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} - 8a{b^2}c - 8ab{c^2} - 8{a^2}bc\\ = 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} - 2a{b^2}c - 2ab{c^2} - 2{a^2}bc} \right) - 4abc\left( {a + b + c} \right)\\ = 2{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} - 4abc.0\\ = 2{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = VP\end{array}\)

Vậy nếu \(a + b + c = 0\) thì \({a^4} + {b^4} + {c^4} = 2{\left( {ab + bc + ca} \right)^2}\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link