Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 8

Chứng minh rằng \(a = b = c\) nếu có một trong các điều kiện sau:

Chứng minh rằng \(a = b = c\) nếu có một trong các điều kiện sau:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

\({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)

Xem lời giải
Câu hỏi:502419
Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của đa.

Giải chi tiết

\({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ac\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\forall a,b \in \mathbb{R}\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,\forall b,c \in \mathbb{R}\\{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0,\forall a,c \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( * \right)\) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\) hay \(a = b = c\)

\( \Rightarrow \)Đpcm

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

\({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Xem lời giải
Câu hỏi:502420
Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của đa.

Giải chi tiết

\({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ac\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\forall a,b \in \mathbb{R}\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,\forall b,c \in \mathbb{R}\\{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0,\forall a,c \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( * \right)\) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\) hay \(a = b = c\)

\( \Rightarrow \)Đpcm

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

\({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Xem lời giải
Câu hỏi:502421
Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của đa.

Giải chi tiết

\({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac = 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ac\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\forall a,b \in \mathbb{R}\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,\forall b,c \in \mathbb{R}\\{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0,\forall a,c \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( * \right)\) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\) hay \(a = b = c\)

\( \Rightarrow \)Đpcm

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn