Phương trình \({x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} \left( {1 - x} \right)\) có tất cả bao nhiêu

Câu hỏi số 502569:

Vận dụng

Phương trình \({x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} \left( {1 - x} \right)\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. \(1\) nghiệm

B. \(2\) nghiệm

C. \(3\) nghiệm

D. \(4\) nghiệm

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502569

Phương pháp giải

+ Tìm điều kiện của phương trình.

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\).

+ Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai một ẩn.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} \left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} - 2x\sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x\sqrt {x - 1} + x - 1 - 2\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right)^2} - 2\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right) - 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(x + \sqrt {x - 1} = y\,\,\,\,\left( {y \ge 1} \right)\,\,\,\left( {**} \right)\), phương trình (*) trở thành

\({y^2} - 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\y = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(y = 3\) ta có phương trình: \(x + \sqrt {x - 1} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 3 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x - 1 = 9 - 6x + {x^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.