Phương trình \({x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} \left( {1 - x} \right)\) có tất cả bao nhiêu

Câu hỏi số 502569:

Vận dụng

Phương trình \({x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} \left( {1 - x} \right)\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. \(1\) nghiệm

B. \(2\) nghiệm

C. \(3\) nghiệm

D. \(4\) nghiệm

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502569

Phương pháp giải

+ Tìm điều kiện của phương trình.

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\).

+ Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai một ẩn.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} \left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 2\sqrt {x - 1} - 2x\sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x\sqrt {x - 1} + x - 1 - 2\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right)^2} - 2\left( {x + \sqrt {x - 1} } \right) - 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(x + \sqrt {x - 1} = y\,\,\,\,\left( {y \ge 1} \right)\,\,\,\left( {**} \right)\), phương trình (*) trở thành

\({y^2} - 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\y = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(y = 3\) ta có phương trình: \(x + \sqrt {x - 1} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 3 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x - 1 = 9 - 6x + {x^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10