Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{x^2} +

Câu hỏi số 502568:

Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{x^2} + {y^2} = m\end{array} \right.\) có nghiệm?

A. \(7\)

B. \(8\)

C. \(9\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502568

Phương pháp giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.\)tính \(S,\,\,P\) theo \(m\). Điều kiện hệ phương trình có nghiệm là \({S^2} \ge 4P\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{x^2} + {y^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = m\end{array} \right.\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.\,\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}S + P = m\\{S^2} - 2P = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S + P = m\\{S^2} + 2S - 3m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 + \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 - \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 - \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 + \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm\( \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P\)

+TH1: Với \(\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 + \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 - \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\)ta có:

\({\left( { - 1 + \sqrt {1 + 3m} } \right)^2} \ge 4\left( {m + 1 - \sqrt {1 + 3m} } \right) \Leftrightarrow 2\sqrt {1 + 3m} \ge m + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \le 0\\1 + 3m \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ge 0\\4\left( {1 + 3m} \right) \ge {\left( {m + 2} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 8\)

+TH2: Với \(\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 - \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 + \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\)ta có:

\({\left( { - 1 - \sqrt {1 + 3m} } \right)^2} \ge 4\left( {m + 1 + \sqrt {1 + 3m} } \right) \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + 3m} \le - m - 2\) (dễ thấy bất phương trình này vô nghiệm vì \( - m - 2 < 0\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le m \le 8\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,...;\,\,7;\,\,8} \right\}\).

Vậy có \(9\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10