Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{x^2} +

Câu hỏi số 502568:

Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{x^2} + {y^2} = m\end{array} \right.\) có nghiệm?

A. \(7\)

B. \(8\)

C. \(9\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:502568

Phương pháp giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.\)tính \(S,\,\,P\) theo \(m\). Điều kiện hệ phương trình có nghiệm là \({S^2} \ge 4P\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{x^2} + {y^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = m\end{array} \right.\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.\,\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}S + P = m\\{S^2} - 2P = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S + P = m\\{S^2} + 2S - 3m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 + \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 - \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 - \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 + \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm\( \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P\)

+TH1: Với \(\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 + \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 - \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\)ta có:

\({\left( { - 1 + \sqrt {1 + 3m} } \right)^2} \ge 4\left( {m + 1 - \sqrt {1 + 3m} } \right) \Leftrightarrow 2\sqrt {1 + 3m} \ge m + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \le 0\\1 + 3m \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ge 0\\4\left( {1 + 3m} \right) \ge {\left( {m + 2} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 8\)

+TH2: Với \(\left\{ \begin{array}{l}S = - 1 - \sqrt {1 + 3m} \\P = m + 1 + \sqrt {1 + 3m} \end{array} \right.\)ta có:

\({\left( { - 1 - \sqrt {1 + 3m} } \right)^2} \ge 4\left( {m + 1 + \sqrt {1 + 3m} } \right) \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + 3m} \le - m - 2\) (dễ thấy bất phương trình này vô nghiệm vì \( - m - 2 < 0\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le m \le 8\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,...;\,\,7;\,\,8} \right\}\).

Vậy có \(9\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.